mathematic: materi

Hanya iseng saja menulis ini, sekalian ada teman baik saya yang tanya tentang materi lingkaran lengkap untuk dia yang masih SMP alias sekolah menengah pertama (aneh ya?, di tengah kog bisa yang perama, sekolah-menengah-tapi-pertama :D).
Sebelum membahas materi yang lebih spesifik, terlebih dahulu kita ingat – ingat dan harus tahu bagian – bagian lingkaran itu sendiri dan apa itu definisi lingkaran.
Definisi lingkaran sebagai berikut ini :

“Circle is defined as the set of points in a plane that a fixed distance $r$ , called the radius, from some fixed point $O$ , called the center” (Encyclopedia of Mathematics, James Tanton, PH.D,2005)

Kurang lebih artinya begini, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik – titik pada bidang datar yang memiliki jarak $r$ , yang kemudian disebut sebagai jari – jari, dari suatu titik $O$ yang disebut titik pusat. Nah, difahami ya kalimat tersebut, kalau belum faham, silahkan ditanyakan kepada yang lebih faham. :)

Definisi sudah, nah selanjutnya, kita perlu tahu juga bagian – bagian dari lingkaran itu sendiri, dari definisi saja kita sudah tahu istilah jari – jari dan titik pusat. Perhatikan gambar berikut ini :

bagian-bagian lingkaran

Titik $O$ disebut titik pusat
$AO, BO, DO, CO$ dinamakan jari – jari, biasanya dinotasikan dengan $r$ yang kepanjangannya adalah $radius$ dan artinya jarak.
$BD$ merupakan diameter yang juga sering dinotasikan menggunakan $d$ .
$DC, DA, DB, CA, CB, AB, BD$ adalah busur lingkaran, biasanya ada yang menggunakan notasi seperti ini $\widehat{DC}$ untuk busur $CD$ .Nah sekarang perhatikan gambar berikut ini juga :

tembereng dan juring
Wilayah yang berwarna merah adalah tembereng.
Warna biru merupakan juring.
Garis $CD$ merupakann tali busur.
Nah, jika saya tarik garis lurus dan tegak lurus dari titik $O$ ke garis $CD$ , garis tersebut dinamakan apotema.

Selanjutnya untuk istilah sudut pada lingkaran :

nama sudut -sudut pada lingkaran

$\angle AOB$ dinamakan sudut pusat lingkaran $O$ . (kenapa kog dinamakan lingkaran $O$ ?, karena titik pusatnya namanya $O$ )
dan untuk $\angle CPD$ dinamakan sudut keliling.

Oke sudah mengetahui hampir semua bagian dari lingkaran. Selanjutnya kita bahas beberapa rumus – rumus dasarnya :

Luas lingkaran $\pi\times r^2$ dengan $r$ adalah jari – jari lingkaran

Keliling lingkaran $\pi\times d=\pi\times 2\times r$ , dimana $d$ adalah diameter lingkaran

Ingat : $\pi=\frac{22}{7}$ atau $3,14$

Biasanya, kebanyakan kita masih bingung ketika diberikan soal perbandingan luas dari dua buah lingkaran, yang perlu diperhatikan untuk soal jenis seperti ini adalah bagian lingkaran yang berbeda, yaitu sering kali yang dibandingkan adalah $r$ atau $d$ .

Misalkan ada soal seperti ini :

Diketahui panjang diameter lingkaran $Z$ adalah lima kali lebih panjang dari panjang diameter lingkaran $S$ , tentukan perbandingan luas kedua lingkaran tersebut!

Solusi :
1. Misalkan $d_Z$ adalah diameter lingkaran $Z$ dan $d_S$ adalah diameter lingkaran $S$ . Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut ini :
Diketahui :

$d_Z=5\times d_S$ jika kedua sisi saya bagi dengan $d_S$ , sehingga diperoleh $\frac{d_Z}{d_S}=5$ , (ingat setiap angka maupun variabel dapat dituliskan sebagai bentuk per $1$ , ex : $5=\frac{5}{1}$ ) jadi dapat dituliskan dengan $d_Z : d_S = 5 : 1$ . Nah, saya mendapatkan bentuk perbandingan dari diameter kedua lingkaran, nah, dari sini dapat difahami kan bagaimana membentuk perbandingan dua lingkaran (tapi ini masih diameternya).

Ditanya :

Perbandingan luas lingkaran … !

Jawab :

Dapat langsung dibentuk menjadi :

Perhitungan di atas ini $\pi$ saling membagi, sehingga $\frac{\pi}{\pi}=1$ .
Perhatikan bahwa pembagian dari dua pecahan cara mengerjakannya dengan mengalikan penyebut yang sudah dibalik, berikut ini caranya :

sehingga diperolehLuas lingkaran $Z$ : Luas lingkaran $S = 5^2 : 1^2 = 25 : 1$ .

juring

Luas Juring, jika diketahui sudut pembentuk juring adalah $p^o$ (lihat gambar tepat di atas), maka luas juring dirumuskan $\rightarrow\frac{p^o}{360^o}\times Luas Lingkaran$ atau $\frac{p^o}{360^o}\times\pi r^2$

Panjang busur $\widehat{AB}$ dirumuskan dengan $\frac{p^o}{360}\times\pi\times d$

Selanjutnya, berikut ini hubungan antara panjang busur dan luas juring.

$\frac{Sudut Pusat (p^o)}{360^o}=\frac{Panjang Busur}{Keliling Lingkaran}=\frac{Luas Juring}{Luas Lingkaran}$

Aturan di atas ini sangat penting loh, jadi tolong diingat baik – baik ya. ^_^

luas tembereng

Nah, sekarang perhatikan tembereng yang diarsir warna kuning di atas tepat ini, untuk mencari luas tembereng tersebut, kita memerlukan luas segitiga $AOB$ (warna merah) dan luas juring $AOB$ , sehingga rumus mencari luas tembereng adalah :

Luas Juring – Luas Segitiga = $\frac{p^o}{360}\times\pi r^2$ – $\frac{1}{2}\times Panjang Tali Busur AB\times Panjang Apotema OC$

Ingat, segitiga yang membentuk selalu sama kaki.

Review lagi :

Bagian-bagian lingkaran (sudah), yaitu jari – jari, diameter, busur, tali busur, titik pusat, juring, tembereng, sudut pusat, sudut keliling.
Rumus luas lingkaran (sudah)
Rumus keliling lingkaran (sudah)
Rumus luas juring (sudah)
Rumus luas tembereng (sudah)
Pembahasan sudut pusat (SP) dan sudut keliling (SK),ini belum. mari kita lanjutkan.

Masih di Materi Lingkaran Lengkap SMP

Berikut ini dua gambar lingkaran dengan sudut yang berbeda,

sudut pusat dan sudut keliling

Sebelah kiri adalah sudut pusat dan sebelah kanan adalah sudut keliling, selanjutnya kita bahas rumus-rumus yang berlaku untuk keduanya.

materi lingkaran lengkap SMP-mahinmuhammad

hubungan sudut pusat dan sudut keliling

Perhatikan gambar di atas, $\angle AEC$ adalah sudut pusat dan $ABC$ adalah sudut keliling. Kedua sudut tersebut menghadap pada busur yang sama yaitu, busur $\widehat{AC}$ . Nah ketika sudut pusat dan sudut keliling menghadap pada busur yang sama, maka rumus yang berlaku adalah :

Besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling

atau

$\angle AEC=2\times\angle ABC$

Besar dua sudut keliling yang saling berhadapan dan kaki – kaki sudutnya berada pada busur yang sama, maka jumlah kedua sudut keliling tersebut $180^o$

Diingat ya, “Besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling, jika kedua sudut tersebut menghadap pada busur yang sama”.

Misalkan ada soal seperti pada gambar berikut ini :

sudut pusat dan sudut lingkaran

Berapakah besar $\angle ABH,\angle ACH,\angle ADH,\angle AEH,\angle AFH,\angle AGH$ jika besar sudut pusat $\angle AOH=70^o$ ?
solusi :
Berdasarkan hubungan dari sudut pusat dan sudut keliling, yaitu jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap pada busur yang sama, maka besar sudut pusat dua kali besar sudut keliling.
Dari sini sudah jelas bahwa besar $\angle ABH,\angle ACH,\angle ADH,\angle AEH,\angle AFH,\angle AGH$ adalah $35^o$ , karena besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat.
Review :

Besar sudut pusat dua kali besar sudut keliling jika kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama
Besar dua sudut keliling yang berhadapan adalah $180^o$

Selanjutnya, yang terakhir.

Sudut antara dua tali busur

Perhatikan gambar ketiga lingkaran berikut ini :

sudut yang terbentuk dari tali busur yang berpotongan

Ada tiga kasus, kasus yang pertama tali busur berpotongan tepat pada lingkaran (gb.a), tali busur berpotongan didalam lingkaran (gb.b), dan tali busur berpotongan di luar lingkaran (gb.c).

Nah, jika ada soal yang diminta untuk menemukan sudut dengan keadaan salah satu dari ketiga kasus di atas, berikut ini rumus yang kita gunakan :
Untuk kasus (a), ini sudah termasuk yang di bahas di atas, jadi kita lewatkan saja.
Untuk kasus (b), yaitu tali busur berpotonga di dalam lingkaran.